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他们培养学生,不仅仅“培养”论文

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发表于 2024-3-14 08:34:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
编者按

2024年的3月14日是第5个国际数学日,在AI已经可以挑战国际数学奥林匹克竞赛的今天,这个新生物种几乎能够证明数学定理,且注定会颠覆整个数学研究,作为人类,重新体会数学的美丽与它在我们生活中的重要性显得尤为重要。我们决定在这一天发布丁玖教授的此文,正是这些师者,在三尺讲台上,用数学之美感召着台下的年轻人,让人类文明中最为精妙与优美的这个学科,得以一代代传承下去。无论AI的逻辑和数学能力发展到了什么程度,那些对数学之美的感知,那些来自师者的精神传承,都是人类所独有的。


撰文|丁玖责编|李珊珊 ●                   ●                    ●

1972年读高二时,我曾目睹过一个感人的场景。那年春我们家建了私房,这是创办了我们家乡小学的我父亲和身为小学语文老师的我母亲婚后的第一所房产。泥瓦匠砌房子的时候,我请了三天假回家帮忙。那件感人之事就发生在第一天。


这天早晨哗啦啦来了一大批人,有的我认识,有的我不认识,都是我父母的早期学生!他们听说老师要建新房,纷纷从家里赶来帮忙,分文不取当小工,尤其令我家人感动的是,年纪越大的学生越是积极,好像他们欠了我父母一大笔人情债一定要还似的。在这帮“高龄”学生中,有一人看上去特别显眼,因为他走路一瘸一跛的,体型也特别清瘦。他和其他人一起,来回搬运泥瓦匠所需要的砖头。我父母劝他不要来回走动了,即便站在那里充当“工头”角色,也让他们感到不安,毕竟他行动起来比正常人困难,但他全然不顾,搬砖不止。这个“感人镜头”被也在现场搬砖的我瞧在眼里,记在心头。

确实,学生是老师手执教鞭的高质教育产品,是辛勤园丁浇灌出的鲜美果实,我父母的学生们便在此时利用这个机会报答老师的教育之恩。这就是那代人的尊师行为。他们的做法可以成为语文教师用在课堂上解释成语“一日为师,终身为父”的最佳范例!是啊,尊师是中华文化的优良传统,爱生是优秀教师的优美品德。好的教育一定是尊师与爱生的统一和载体。

今日,有多少学生会终生牢记教书先生的恩情;然而反之,又有多少老师值得让学生终生怀念呢?


之前,我曾在数篇文章里描述了我大学同窗的高考趣闻及读书故事后,(见往期推送:
46年前,我们的大学,30岁才读大学,那又如何?回忆我9个“老三届”同学的人生逆袭)今天,我的笔头就要转向我们的授课老师了。总体而言,他们基本上不苟言笑,甚至还有不少迂腐之处。他们中的绝大部分人一辈子没有写过多少“研究论文”,但是他们却培养出了一批又一批合格人才,用行动书写出醒目的“为人师表”四个大字。他们对教育事业的热忱,热得足以把我的笔尖融化。在将他们的名字一一介绍时,我不再采用之前大都按姓氏笔画排序的方式,而是像电影故事片中人物依次出场那样,按照我们本科时必修科目的先后顺序隆重推出。

数学分析老师:年过不惑,顶着讲师名头,尽心教最重要基础课


第一个进入我视野的自然就是我们大学一、二年级主课——数学分析的第一年授课老师颜起居(1936-2011)。颜老师是福建人,在我们那个时代,据说福建的高考成绩在全国名列前茅。大学毕业后留系教书的他读书时肯定是学习尖子,那时毕业时被系里抓住不放留校任教的应该都是班上的前几名。我曾在纪念我的硕士导师何旭初(1921-1990)先生冥寿九十周岁的文章《一个时代的回忆》中写到颜老师:

“他是何等的认真、何等的负责,一板一眼地反复训练我们大耍‘ε-δ’之极限语言这把‘程咬金的大斧头’。他耐心传授的这一套基本武功让我们无论干什么职业都受益无穷,终生不废。”


这段话中的“程咬金的大斧头”不是我自己比喻的,而是出自颜老师的口中,不过我将他的原话“程咬金的三板斧”改为“大斧头”,专门砍向那令人生畏的极限概念。我能想象颜老师可能对《隋唐演义》这类历史小说中的情节非常熟悉。据我所知,许多数学教授特别喜欢历史,尤其是那些流芳百世的伟大数学家,比如俄罗斯大数学家柯尔莫哥洛夫(Andrey Kolmogorov,1903-1987) 和匈牙利裔美国数学家冯·诺伊曼(John von Neumann,1903-1957)。前者所写的第一篇论文就是关于几百年前一个俄国城市的兴衰史,要不是教他的教授说“历史结论至少需要五个论据”而数学定理只需一个证明,他就会终生以历史学家的面目出现。如果想知道后者的历史知识有多渊博,就请去看他的最亲密朋友、“氢弹之父”乌拉姆(Stannislaw Ulam,1909-1984)在其自传《一位数学家的经历》(Adventures of a Mathematician)中对他的描述。我班同学中爱好历史的也有不少。在王宏玉全家曾住过的别墅里,有个房间里的大书架上放的全是《二十四史》;田刚以数学成名后也以爱好历史被记者记录;而冒荣则更进一步,干脆拿了历史学科的博士学位。我读过他关于“中国科学社”历史的博士论文,证明一百一十年前留美学生创办的这个中国近代科学团体的伟大历史作用,采用的证据可能超过了五个。


颜起居老师并不属于系里纯数学方向的某个教研室,而是何旭初先生和苏煜城(1927-2022)先生领导下的计算数学教研室成员。苏先生是扬州市区人,和南大计算机科学的创始人之一徐家福(1924-2018)同期留学苏联,专攻偏微分方程数值解,获得副博士学位后来到南京大学任教。像几乎所有那些与他差不多时间留校的同事一样,已过了不惑之年的颜老师还继续背着“讲师”的包袱。因为“文革”的原因,大学教师的职称评定工作冻结了十几年。数学分析属于“分析”学科,分析的对象是函数,一般来说,专搞函数论的老师最有资格教这门本科阶段中最重要的基础课了。系里将这份重任交予专业只是计算数学的颜起居老师,肯定有充分的理由,或许他“程咬金的极限斧头”玩得虎虎生风,在计算数学的老师中是分析功底最深之人;或者按照习惯,老先生们一般是不教大一大二学生基础课的——这点中国应该向美国看齐——因此,即便研究实分析出身的何旭初先生分析功夫最最高强,我们也不能指望快六十岁的他来教我们数学分析这门课。


颜起居老师没有辜负系里交给他的重要教学任务。说“重要”,是因为七七级是恢复高考后的第一届大学生,是承前启后的新一代。所以,可用一句古语来刻画他:受命于危难之中。经历过五届工农兵学员的时期,大学老师们也渴望教到他们心目中经过高考正规入校的学生。颜老师教得特别高兴,也教得十分认真。虽然我记得他的第一节课和第二节课的基本内容,但是大部分教学细节早已模糊不清了。我记得他的讲课神态,也记住了他引用过的一些名人趣话,比如有次他引述了加州大学伯克利分校的数学教授项武义(Wu Yi Hsiang,1937-)说过的一句俏皮话:“任何一本书都是三页一小错,五页一大错。”项教授早在上世纪七十年代就步他的加州大学伯克利校区同系长辈陈省身(1911-2004)先生后尘,回到中国学术访问加上探亲,并于1979年由人民教育出版社推出了一本名为“微积分大意”的书。颜老师巧妙地传达别人的语录,潜台词实际上是:不要迷信权威。因为那时由于个人崇拜的惯性,我们习惯性地仰视学术权威,同时尽信书本。然而几十年过去了,现在普遍还是迷信权威,尽信书本。


由于板书较多,颜老师常常要将两块大黑板上下滑动。因为阶梯教室很大,他要鼓劲发音,于是喉咙用力、肩膀用力,双力齐下,他的方脸上沁出细细的汗珠,坐在前排的学生完全看得见;天气越来越热,汗珠的直径也越来越大,坐在后排的学生也看得清清楚楚了。那时,我们恨不能搬来一台空调机,放在他面前的讲台底下,给我们的教书先生降降温。颜老师深知,要让学生理解一个特别难理解的数学概念一定要正过来反过去地反复解说,所以他不厌其烦地解释同一个定义的等价说法,直到程度较低的学生也能领会。在他的教导下,我们学懂了微积分,不光知道了“大意”,而且吸收了“精髓”。从上下确界到极限理论,从微分学基本定理到微积分学基本定理,经过颜老师手把手严格训练,到了第二年从一元微积分推广到多元微积分时,我们和微积分的双边关系也从“敌对国家”转化为“友好邻邦”。基础打牢后,第二年接手教数学分析的倪进老师也感到轻松许多。可以说,颜老师孜孜不倦、苦口婆心的教导,让我们从分析数学入手,慢慢地登堂入室,跨进了被许多大学生视为“地狱之门”的极限之门。

习题课老师:一开学就给了田刚一个下马威


倪老师只从长相就能猜测是南方人。他可能是江苏人,也许是常州人。他在南京大学教书几十年,一直与在常州工作的太太两地分居,直到我们大学毕业时他才好不容易调到位于常州的江苏化工学院(现常州大学),从此结束牛郎织女的生活。那时的户籍制度非今日青年所能想象。从而他的一生比起颜老师来,除了职称之外,还多了一项苦衷。这在西方人看来是最不可思议的苦衷。他毕业于复旦大学数学系,这个系自从1952年全国高校院系调整后在名声上一直盖过南京大学,大概只服北京大学数学系,那是早先任教浙江大学的苏步青(1902-2003)在二十世纪五十年代后的上海建立的数学王国。倪老师白白的皮肤,匀称的身材,矮矮的个子,他带来了比他更矮,在女性中也偏矮的王巧玲老师,来接替计算机科学系的蒋新儿(1941-2000)老师和他搭档,教我们的习题课。


这位胖乎乎的王老师实在是太凶了,但不是待人处事方面的凶,否则可能没有哪个男知识分子敢娶她,她的“凶”是体现在数学的教学上。第一次给我们上数学分析习题课,她就狠狠地将了我们全班大大小小一军!那天恰好是今日中国人早已知道的西方情人节。要是王老师及时知道这天“只应送玫瑰,不应板起脸”,我班的历史就没有现在这么闪光了。我在当天的日记里忠实地记录了我的观察:

“数学分析习题课老师是个女的,王?此人好厉害,俨然是一个有渊博学识风度的学者。一开始就把一百分的获得者们‘将了一军’,结论为‘你们的极限学得模糊’,使听者目瞪口呆,暗暗吃惊。”


那天,我还不知道王老师的全名,所以只记下她的姓。被将军后,我们几乎所有人都想留级到还没进校的七九级重学极限理论,因为只比我们迟半年入学的七八级学生已经啃光了极限理论。那一次我没有被她叫起来回答问题,但是坐在教室后面的田刚却被她叫了起来。她问了一个刁钻古怪的问题,居然一下子把田刚问倒了,站在那里羞得满脸通红。我想,后来的几十年田刚之所以拼命用功,大概就是因为这一次被王老师当众出丑之故。


轮到我被王老师喊起来回答难题,已经是她教我们五十天后的事了。日记上也记得惊心动魄:“习题课,我第一次被提问,使我猝不及防,虽圆满回答,仍忐忑不安。”二十多年后,借母校百年校庆东风,我们同班同学毕业二十周年聚会。我有幸同王巧玲老师合影,同时没有忘记问她为何第一堂的习题课对田刚“下重手”。她笑着给我们解开了这一“千古之谜”:是田刚的母亲教她这么做的。用心良苦的田妈妈王明淑(1931-1984)老师生怕儿子骄傲自满,故步自封,便心生一计,授意她的本家妹妹兼同事王巧玲老师杀了一下儿子的威风。所以田刚功成名就的历史记载中,不应忘写这一段。可以说,王明淑携手王巧玲的这一得意之作,胜过孟母三迁的教子典故。


我们的数学分析课第二年的主讲老师倪进和习题课老师王巧玲,都是函数论教研室的骨干,“分析”是他们的看家本领,他们教学上“一唱一和”配合得天衣无缝。但两人的个性却成鲜明对照,倪老师十分温和,是个“笑面人”。请不要将这三个字的含义和雨果(Victor Hugo,1802-1885)的同名小说等同起来。我这里用的完全是字面的意思:他每次进教室都是笑容可掬的,甚至在学生答错问题的时候还是笑眯眯地请你坐下。我们从来没有看过他发火,因为他的火已经借给王老师发了。的确,第一次习题课后,我们领教了王老师的厉害,个个怕她。我在国外碰到的严师是我的博士论文导师李天岩(1945-2020)教授,他的严格要求让他的弟子在九十年代初美国求职市场最困难的时期也能找到大学教职。但他的“严厉”也曾令他失去了一位聪明绝顶的学生,他为此感到痛苦,甚至直到因病去世前依然没有释怀。不管怎样,严师出高徒,我的母亲对子女个个严格,我们都没少挨过藤条的抽打,但是“不打不成人”。在我的大学生涯中,如果评最严厉的老师,冠军应给王巧玲老师。我的日记中还有几处提到过她,比如她接手习题课两周后,我“埋怨”道:“数学分析习题课一下来,又是大堆习题。”同一年秋季学期,也就是我们上数学分析课的最后一学期,我如实记录了王老师对我们班数学分析作业的评价:“我、老冒、倪勤坐在门外草坪上聊天。后王巧玲老师来了,说到我班的数(学)分(析)作业很糟,至少百分之七十只能打三分。”果然不假,一个月后的数学分析测验,全班有十个不及格,但也有两个一百分,我则考了八十三分。这些数据都写进了日记中,又加了一句:“我离上还差一距,须努力,不负众望。”有这样的严师,岂有不想努力之理?

“大学毕业的时候几乎忘光了所有的公式,但是我学会了怎样学数学。”


我们一进校就学的另一门课就是“三高”中的解析几何,用的是北京大学数学系吴光磊(1921-1991)教授所著的两本薄书《平面解析几何补充教程》(与田畴(1937-)合编)和《空间解析几何简明教程》,学时为一学期。第一部分是高中所学《平面解析几何》的精细化和一般化,一个月就学完了。然后我们要从平面进入空间,从二维跳入三维。我们本身就生活在自然界的三维空间里,见到的都是立体形状,所以“立体”解析几何更重要,对第二年所学的多元微积分直接有用。我们的授课老师王永成(1939-)最适合教这门课了,因为他在全系老师当中身材最魁梧,体积最大,而体积正是三维几何的度量对象。王老师身体的体积得益于他的高个头,全身横向尺寸与纵向尺寸比例适中,恰到好处。我看过李前宽(1941-2021)、肖桂云(1941-)夫妇为新中国成立四十周年而拍摄的获奖电影《开国大典》,觉得王老师当年的形象很像扮演毛主席的百花奖最佳男主角得主古月(1937-2005)。


虽然气魄与伟大领袖毛主席不能相比,王永成在数学系书生中却是最有气场的一个。他与苏煜城教授一样,也是扬州市区人,但小了苏先生整整十二岁,也比颜老师年轻三岁,所以王老师讲话的中气和他的体格一样,远远壮于颜老师。还未到不惑之年的他,4月17日一跨进我们第二批录取者上第一节课的教学大楼201阶梯大教室,面对差不多一百二十个的大一新生,就以大嗓门把我们的精神向上一提。他开讲时的第一句话就是“这门课是我第一次讲授,也是我第一次上讲台”。看来他更年轻的时候没有机会上讲台“表演”,因为他1962年才从本系毕业,在师资中算是一个小字辈的人物。


但是,第一次教书,他就“表演”得棒极了,语言风趣,声情并茂,手舞足蹈。如果说颜老师的面容有点深沉,举止略为古板,他看上去则红光满面,性情奔放。我估计一个原因是颜老师的家累较重,上有老下有小,收支平衡需要他精打细算。那时大学教师普遍清贫,即便何旭初先生这位全国最早的博士生导师之一,按照没有教过我课的王嘉松老师在美国一次开会相遇时对我所说的,“是一辈子喝稀饭的”。这句话被我写进了《纪念何旭初先生》一文中,于南大校庆百年时发表在2002年5月22日的南京《扬子晚报》上。


今天,王永成老师教书的细节我早已忘光,但他在某次课上所讲的一句话我从来没有忘记:“我大学毕业的时候几乎忘光了所有的公式,但是我学会了怎样学数学。”这句话很有道理,和获得菲尔兹奖的日本代数几何学家广中平佑(Heisuke Hironaka,1931-)所强调的“读书的目的是获得智慧”一样都是智慧之语。在一本书《天南地北扬州人》中,有一篇文章就是介绍王永成的,我在那里读到他当年在南京大学念书时是怎样刻苦学习的事迹。我能读到这本书,只是因为该书有一篇文章写了我,写我大概是由于我在海外当了教授,作者的拔高之语让我不安。王永成老师是值得写的,因为他在计算机的应用研究上贡献不小,另外,他教过的学生中有不少成就非凡;而我在美国教书几十年,没有教出几个像模像样的好学生。


另一件关于王老师的往事被我记在了日记中:1978年7月6日的解析几何课——我们第二批录取者终于赶上进度,与第一批录取者第一次同上这门课,大踏步走上讲台的他像京剧《红灯记》中的王连举那样手臂负了伤,只不过伤的是右手。但是他“轻伤不下火线”,依然来教书。这个班一下子是两个班的并集,大教室挤满了人。同学们都目睹了他左手在黑板上写字的风采,见证了他继承江苏书画大家费新我(1903-1992)的“右手残废左手挥毫”的大无畏精神。我那晚记下了这件事,是因为他的负责精神感动了我。有什么样的老师就会教出什么样的学生,我班后来也在大学教书的那几位同学就继承了王永成老师的这种精神。一个典型的例子是:三十九年后,黄卫华任教班上的一位女学生在朋友圈发了如下的文字:“今天不知道为什么听了黄卫华老先生的微积分心情这么好……能遇到这么朴实、严谨、认真、有师德的老教授是一件很幸运的事。”接下来的一句证明我的同学完全继承了老师的衣钵:“老师脚腕摔折了,今天走路都还困难,坚持全程站着上完了课,下课还留在教师休息室答疑。”


当然我的日记也记下了另一件事,因为它和我有关。那是我进大学后第一次考试,科目就是解析几何,时间是五月的最后一天。这是一次具有纪念意义和现实意义的考试,那时我想如果考不好就卷起铺盖回我的原工厂算了。我在6月9日的日记中写道:“解析几何测验90分以上公布名单,有我一个,可能是99分……计算数学平均分为92,计算技术平均分为91,电子班平均分为80多。”感谢王老师,让我增加了自信,继续奋斗!


王永成老师和比他名气更大的另一个王家的后代——王选(1937-2006),都是计算数学专业的优秀毕业生,也都把自己的数学头脑用在了技术科学上。王永成老师后来调到工程名校上海交通大学从事计算机检索系统的研究,这符合他当年给我们留下深刻印象的个人风格,但是他也非常自豪于他曾经教出杰出理科学生的光荣历史。他的名字就意味着他会有永久性的成功之感。2004年,他不无自豪地告诉中文读者,当年他所教过的学生中就有如今的世界著名数学家田刚。他说的一点不错,我想田刚也完全认可。田刚辉煌几何人生的起点就在解析几何,启蒙人是王永成,而最终落脚于几何分析,指路人为菲尔兹奖获得者丘成桐(1949-),然后成长为微分几何新一代的领袖级人物。有趣的是,在几何这门关于形状的学问中,田刚的一始一终二师,不仅身材都是一样的高大魁梧,连脸型的形状特点也都基本一致,只不过年龄上差了恰好十岁。


他们甘心只作“好的教书匠”


“三高”中的最后“一高”一般叫高等代数,但是我们学这门课时的课程名称是线性代数,可能后者更适用于计算数学。线性代数的主要工具是矩阵,而矩阵计算贯穿于计算数学的各个部门。学完了解析几何,第二学期,即1978年的秋季学期,我们立马修了线性代数,用的课本是何旭初教授亲撰的同名教材,这是他率领计算数学教研室一班人马为全国高校快速编写的“计算数学讲义”(共九本)中的第一本。这九本书,全由科学出版社及时出版,影响深远。书的开本都不大,也不很厚,优点是便于携带,不像当今美国大学生使用的低年级教科书,又厚又重。但这些薄书的缺点也很明显:写法太精炼,不易理解。这第一本基础教材还有另一缺陷,一些线性代数的重要概念竟然没有提及,比如抽象线性变换的一般理论和矩阵的若尔当标准型。所以许多人借来或买来本系近世代数权威周伯壎(1920-2009)先生的《高等代数》或北大代数教研室集体撰写的同名教材,甚至唯一采用形象化术语“高矩阵”的吉林大学谢邦杰(1923-1998)教授的那本蓝皮书《线性代数》也被作为辅助读物以扩大高等代数的知识面。阅读参考书是我班同学的普遍行为,只不过有的人只读了与课程相关的参考书,而另一部分人读的参考书包括非课程所需的读物,可以称为“课外书”了。


线性代数课的任课老师林成森(1937-)也是一个高个子,身材虽清瘦,发音却比胖于他的颜老师洪亮得多,吐字也十分清楚。听他的课,不会听不清他的汉字发音,不像曾经教过某门课习题课的一位老师,喉咙里发出的全是浓重的家乡口音。然而,最让学生满意的是,他不光中文字发音清楚,语调抑扬顿挫,而且新出场的数学符号也解释得比水晶还一清二楚。他的课如果听不懂的话,只能问自己的脑子是否要动个小手术了。当时我们的教科书还躺在印刷厂的车间里待印,开学后两个月才发到我们的手上。这就给了林老师一个千载难逢的机会,充分展示他那卓越的演讲本领,学生不必再看书就能领会。如果他在北美拿到博士学位的话,只要没有英文障碍,找个数学系的教职易如反掌,因为美国绝大多数的高等院校,尤其是那些私立的人文学院,聘教授的第一要素就是“好的教书匠”。我在国外听过课的所有华人教授中,论讲课的口才只有一人能和林老师相比,他就是我的导师李天岩教授,我在2021年秋出版的书《走出混沌:我与李天岩的数学情缘》中对他有过课堂表演的几笔素描。


林老师给我留下的深刻印象,除了教书的艺术外,还有他系在脖子上的那条破旧围巾。秋季学期一开学,气温很快就成递减函数了。我不记得哪一天林老师的围巾上了身,但肯定已是下半学期了。只见他上身披着一件藏青色的破旧短大衣,敞开着纽扣,同样简陋的围巾绕着高高的脖子旋转了两圈,让我好奇的眼光聚焦在与大学教师身份似乎不太匹配的装束上。我在书中看到的那些民国教授,哪个不是西装革履,器宇轩昂?除了学问最大的陈寅恪(1890-1969)教授一袭长衫在身,不过那是他独特的个人风格。林老师穿得比我们大多数学生还要寒酸,但是他的大脑里贮存着的是比当时的我们不知多了几倍的知识!我真恨不得建议林老师将他名字中间的那个字去掉,借用一下辛亥革命元老林森(1868-1943)的大名,过上理应得到的体面生活。如果早故的林森老人那时还活在大陆,中华人民共和国的政府一定对他客客气气,奉为上宾。在那个“搞原子弹不如卖茶叶蛋”的“脑体倒挂”时代,大学里像颜起居老师、林成森老师这样的“贫下中师”比比皆是,但是他们中的绝大部分兢兢业业地甘当园丁,不求富贵,更没有怨声载道。


二十世纪九十年代,我有次回南京,专门去了林成森老师家中看望他,那时,老师们还基本住在他们已经住了几十年的学校教工宿舍里。他家就住在南园的东南一角。林老师家中的摆设比西南联大时代闻一多(1899-1946)家的破旧家具好不了多少,但是他和闻先生一样双眼有神,精神昂然。我坐在仅有三条腿的旧沙发上,他和我谈起了他已写好将要出版的教科书《数值计算方法》。看着他深邃的目光和浓浓的眉毛,我眼前浮现出十五年前他在讲台上挥舞双手,握在右手的一支粉笔在空中划过,向我们揭秘最小二乘法宝藏时满脸激情的样子。


下一门课应该是常微分方程了。“方程”是我们从学初中代数就开始熟悉的基本概念,它是任何运算的孪生兄弟。有了代数运算,代数方程就接踵而至。其实小学生学了加法后再学减法,实际上就是学解方程,5 – 2 = 3归根结底就是解方程x + 2 = 5的结果。所以整个数学分析的两年课程还没有上完,系里就迫不及待地让我们学解微分方程了,因为我们已被武装了一元微积分的“军备器械”。但是,系里派来的耍弄这些“大刀、阔斧”的教官并不是拿破仑(Napoléon Bonaparte,1769-1821)式的叱咤风云的军事统帅,而是一个私塾先生式的老学究徐鸿义(1932-2011)先生。徐老师的风度很像陈省身清华硕士导师、南大二级教授孙光远(1900-1979)那样的老教授,一副光圈比我班高考数学全省第一的魏木生那副还要多上几圈的眼镜更显示出他的满腹经纶。但他却依然还是一个老讲师,因为他没有“老”到像何旭初先生或唐述钊(1922-2016)先生那样的民国大学毕业生,所以在讲师的路上慢吞吞地走了许多年还没走到尽头。与他慢吞吞的讲师路相一致,他在课上讲话的速度也是缓慢的,语气不疾不徐,音调不高不低,个性温文尔雅,脸上从无怒容,板书一丝不苟。这种或许是由“文革”训练成的好脾气正合我们的胃口。据西方的教育家们说,在没有压力的环境中最能读好书。我们很悠然自得地和徐老师学会了怎样填充微积分的“枪炮弹药”,破解各式各样的微分方程。


那时,正好是神色威严的王巧玲老师掌控我们的数学分析习题课,徐先生和王老师恰恰形成鲜明的对比,我们路上见到后者要躲,碰到前者不怕,甚至走上前去问一声好。我们的问候让徐老师满面春风,光圈后面的双眼发出更多的光来。我们喜欢他到了甚至可以开开他的习题课老师玩笑的程度。系里配给他的这位习题课老师,面对的学生中有他应该喊大哥的那帮老家伙,自然有点胆怯。有次他讲为求狗追兔子的追击轨道而建立相应的微分方程,却紧张得写不出“兔”这个字,于是他思索了好一会是不是应写成“免”而丢掉兔子的那根短尾巴。他实在是个数学系才会有的书呆子,其实从黑板上擦掉那个字也没人管,但他站在那里动也不动,硬着头皮死想,任凭下面那几个喜欢看笑话的人喝倒彩。这大概是一位教书先生感到最没脸面的一件事了。其实,即便大学校长,比如那个中国人民大学甚至清华大学或者北京大学的最高行政长官,不也闹过比这还要可笑的笑话吗?那一天台下的善意哄笑,说到底还是徐老先生对我们太客气了。如果王巧玲老师主讲这门课,谁敢在太岁头上动土?


常微分方程学完后,偏微分方程粉墨登场。这回,在莫斯科大学柳斯捷尔尼克(Lazar Lyusternik,1899-1981)教授门下获得副博士学位的苏煜城先生亲自教导我们了。他应该是真正的“扬州名人”,却无理由地没在《天南地北扬州人》中露面。我在1979年9月4日第一节课后的日记中记载了他留给我的好印象:“偏微(分方程)课上,苏煜城老师关于此课的导论很吸引人。”我在以前的文章中写道,“他站在讲台上,就像是运筹于帷幄之中的元帅,讲解与板书一样从容不迫、行云流水,满腹的知识在他的嘴边结晶成艺术,听他上课真正是数学的美妙享受。”但是,“长期体弱的苏先生在课堂上‘周期性’地不时上提裤腰带,只是因身体欠佳皮带不能系紧之故,成为课堂美景中的一道小小风景线,更提升了所有的学生对他的敬佩之度。”


虽然体质不好,苏先生却有长寿基因,他出生早我母亲一年,都享年九十多岁。一位我熟悉的年轻的数学史专家王涛博士,为了撰写南京大学的计算数学史,在苏煜城教授九十周岁那年采访了他。王博士写道:


“他给笔者谈到自己非常怀念当年在苏联学习的时光。虽然眼睛已经不太好用,手也有些颤抖,但他最近仍坚持翻译了纪念导师柳斯捷尔尼克的俄语文章,并干净地誊抄在方格纸上。苏先生的房屋内摆满了当年他省吃俭用从苏联购买回来的俄文数学图书,仿佛在诉说着那个火红的年代。”


有了前两年打下的数学分析基础,三年级的第一学期,我们从“实在的疆场”进入了“虚幻的世界”——复变函数。小巧玲珑但内容丰富的教科书,出自武汉大学教授余家荣(1920-2020)之手,它于1988年荣获国家教委颁发的高校优秀教材一等奖。三年以后,作者又获得法国政府授予的法国棕榈教育骑士勋章。我们不仅选对了课本,还选对了人,因为余先生就是中央大学1944年的毕业生,是我们的前辈学长。我们以前只知道苏步青先生的弟子谷超豪(1926-2012)五十年代在苏联获得“科学博士”学位,而其他留苏学生顶多戴了顶副博士帽子归国,这已经等价于美国博士了。但余家荣于1947年10月留学法国,不到三年时间,于1950年6月以“最优”的评语拿到与谷博士的最后学位等价的法国国家博士学位。三十五年后,把余教授的《复变函数》读透了的我班同学王雪平效仿先贤,用了差不多一样神速的时间,将另一顶法兰西“国家博士”学位的帽子戴在头上。


王雪平的成功某种程度上也归功于何泽霖老师的课堂教学。何老师长得一表人才,身材匀称,面相慈善,菩萨心肠,与他那四平八稳的讲课语气相得益彰。系里没有让他教我们的大班解析几何,理由就在这里。他温和的好脾气不适宜对着宽大的教室大喊大叫。所以四十八个好学的青年就被这个温文尔雅的中年人轻轻地带到了复变量的奇妙世界。


刚开始,我们一片欢呼,以为复变函数太容易了。你看,只要将过去学过的数学分析中的变量改写成,什么极限、导数、幂级数、定积分瞧上去一模一样,这门课不就是复习吗?个别同学甚至都想退掉这个不慌不忙的教书先生的课了。且慢,这就是何老师的魅力所在。他仔细而清晰地向我们演示,为什么在任何一个开区域内可求导数的复变函数居然可以无穷次可导,进而还可以表示成一个幂级数,而这个奇妙的性质对于实变函数而言完全是可望而不可及的。看来复数要比实数好玩多了,事实上也难玩多了。如果你打开美国已故数学名师卢丁(Walter Rudin,1921-2010) 三本分析名著中的第二本《实复分析》(Real and Complex Analysis),你就会知道书后面部分的复分析中的难题有多难。


就这样,经过何泽霖老师诠释的余家荣先生的小书,大大地提高了我们对于现代数学的认知;通过从他那里学来的柯西积分公式,我们开始隐隐约约地感觉到拓扑的影子;从定义域为单连通开集的解析函数在区域内简单闭曲线上的积分为零这一令人惊奇的事实,我们仿佛也懂得了为何人类的部分成员,无论采取何种方式,总能爬到社会的某个固定阶层。可以说,现代数学就是关于复数的数学,比如代数几何或复流形理论。这股在我们班内逐步弥漫的现代数学气息,就是从何老师那个源头飘来的。一个平时不大吭声的数学才子,也被他的火眼金睛发现。整整一学期,我在班上唯一听到的何泽霖老师公开表扬的学生,就是现已在法国当了三十三年半正教授的王雪平。


按照惯例,先学“复变”,后学“实变”。实变就是实变函数的小名,它一般被认为是数学系本科阶段所有必修数学课程中最难啃的一门课,但是我们听说,现代数学的基本语言是用实变函数论的语法写的。比如说,无论是理论研究偏微分方程还是实际计算这些复杂方程,实变函数中的勒贝格积分理论就是基本的工具。下一学期,给我们上最难的这门课的人,就是我们在大二阶段怕得要死的王巧玲老师。奇怪的是,我记忆中她的“凶神恶煞”一去不复返了,“慈爱母性”重又回到她的身上。唯一的解释只能是,经过她一年多前的严厉调教,我们就像六十年代初总参谋长罗瑞卿(1906-1978)大将指挥的大比武后的军队,已经百炼成钢了。王老师喜在心头,自然也不加掩饰地喜上眉梢。但是,她对我们还继续保持着严格要求。除了正统的教科书外,苏联数学家那汤松(Isidor Natanson,1906-1964)的经典教材《实变函数论》上下两册就是我们爱不释手的最佳参考书了。“那汤松”这个名字或许现在的数学系本科生有点陌生,但是他的儿子也当了数学教授,后者指导过的一位优秀的犹太裔女大学生由于忙结婚而误了读研究生,却生了一个天才的儿子,名叫佩雷尔曼(Grigori Perelman,1966-),有关他的“庞加莱猜想”故事大家应该都知道了。

培养学生,而不仅仅培养“论文”


讲到现在,说的全是基础课的故事。难道我们从大三就开始修的计算数学专业课就没有故事了吗?別忘了我们专业的老师们写出的那套“计算数学讲义”共有九本。当然故事很多,但我只能把它们浓缩成压缩饼干,否则这一篇文章就要写成一本书。大学前两年,我们已经学完了九本中的三本基础,即《线性代数》《常微分方程》《偏微分方程》;后两年,我们通过剩下的六本,一步步地掌握了计算数学的看家本领,它们包括《数值逼近方法》《线性代数计算方法》《常微分方程数值解法》《偏微分方程数值解法》《概率统计基础和概率统计方法》《最优化方法》。同时,系里为我们开设了不少选修课,如抽象代数、初等拓扑、图论、微分几何、泛函分析、微分方程定性理论、样条函数、有限元方法等。班上同学像“文革”中的群众组织那样自然分成了两派,一派效忠本专业,属“保皇派”,继续修与计算数学有关的专门课程,这一派声势浩大,包括聚集了所有的九名老三届和九名女同学;另一派则以王宏玉、田刚为首,是“造反派”,他们选择了纯数学作为一生追求。直到大学毕业那年考研究生前夕,我还是个举棋不定的“逍遥派”。说句心里话,我偏爱纯粹数学,喜欢动脑子胜过喜欢动双手,若非听从一位重视应用的南大教师的建议,我就去考泛函分析的研究生了。因为在我看来,我修分析课程拿“优”的概率远远大于那些计算方法课程,每次考试我交卷都比较早,但对某些不难但繁的计算课程,无论做习题还是考试,我本事都不太大,缺乏耐心。于是,我的专业课成绩尽管没有“不及格”,但几乎没有攀上“优”,大都在“良”和“中”之间轮流坐庄,还有个别“及格”。这些都可被我带出国的本科成绩单证明。多年后,当我听说我的师爷约克(James Yorke,1941-)教授的大学成绩单上的记录比我还要差上几倍,几乎一个A也没有,也“没有B,全是C或C以下”,我这才稍微原谅了自己一点。而我的复变函数、实变函数这两门分析主课,都学得比较主动,成绩自然都是优,线性代数还考了满分。然而,最终我还是报考了计算数学的研究生,或许是我的“线性代数”成绩说服了我不放弃“计算数学”。


专业课的那些老师,虽然教书技巧各有千秋,讲课方式各有特点,但都有一个共性,那就是毛主席所说的“世界上怕就怕认真二字”。他们的书真是教得特别认真。不像现在,大学教师必须要发表论文才能提职加薪,一心写论文有可能就没有心思教书了。那个年代,因为经济落后,纸张供给都有困难,于是大家就无需写文章而浪费白纸;而现在的部分论文可能真是浪费打印机的纸墨,像田刚、魏木生那样写成的传世之作不是很多。一旦教师把教学视为天职,再不会教书的也会让学生感动。我还记得教我们数值线性代数的沈伟良老师,一讲到“镜像反射”的反射矩阵(亦称Householder变换),就激动得眉飞色舞,把我们的情绪也调动了起来。


在所有这些专业课中,我对吴启光(1933-2023)老师的偏微分方程数值解印象最深。他那字正腔圆的标准发音,熠熠生辉的粉笔板书,都为他无懈可击的课堂教学如虎添翼。吴老师的黑板字写得大而优美,即便终生视力不佳的法国大数学家庞加莱(Henri Poincaré,1854-1912)也会愿意来上他的课,看清黑板后并会问一些关于差分格式稳定性的问题,因为他一百四十年前就已探索过关于地球、太阳和月亮形成的三体问题的“稳定性问题”。吴老师的磁性声音具有贯穿力,如果他跟别人煲电话,对方肯定不愿放下话筒。所以,上他的课无论对视觉还是听觉都是极大的享受;当然对头脑也是如此,因为我们听得明明白白,下课后甚至都不需要复习了。后来班上的二老二小——尹光炎和沈锦仁、刘必跃和盛秦——报考了苏煜城先生和吴启光先生的硕士研究生并被录取,或许就是被他们两人的讲课艺术吸引过去的。


“忆往昔,峥嵘岁月稠。”四十多年后追忆这些令人感叹的“传道授业”往事,有些当事人已成故人。教过我们课的老师中,按时间顺序,颜起居、徐鸿义、倪进、苏煜城、吴启光先生已经离开了我们。我们系当时的几任系主任,如叶彦谦(1923-2007)先生和周伯壎先生,都已静静地长眠于地下。我们专业的创始人、一级教授曾远荣(1903-1994)先生,于九十一岁的高龄仙逝,而南京大学计算数学的领军人物、我的硕士研究生导师何旭初先生,不到七十周岁就因病去世。剩下的大多数老师都已进入垂垂老矣的晚年。在我班同学纷纷步入花甲、古稀之岁的这几年中,我们常闻昔日师长谢世的消息。五年前去世的原数学系副主任周树棠(1937-2018)老师,是七七级高考我系录取老三届何炳生的关键人物,也是何炳生第一个通知我班同学群这个噩耗的,他们做了二十年的邻居。


我将《一个时代的怀念》中的倒数第二段借来,结束对我班授课老师们的深情回忆:

“吃水不忘掘井人。”没有这些孜孜不倦、任劳任怨的教书育人者,没有他们的那份敬业精神,没有他们的那种忘我态度,哪有我们的今日事业?他们也写作,也做研究,但是他们把培养学生作为己任,而不仅仅把培养“论文”作为己任。他们高尚的职业道德,让我们仰慕不止。我们这一代大学生、研究生实在是太幸运了,因为那个时代的老师是良师,也是益友,是韩愈名言‘师者,所以传道受业解惑也’的真正履行者,是教育园地名副其实的辛勤园丁。那个久远的年代,正因他们的无私奉献而在中国现代教育史上记下骄傲的一页。


完稿于2024年2月27日星期二
美国哈蒂斯堡夏日山庄

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